Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 1.1.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 1.1.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 1.1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 1.1.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Paso 1.1.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 1.1.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $- 2$ por $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Paso 1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.1.1

Combina $- 64$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{64}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 1.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 1.2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.2.8

Multiplica $- 3$ por $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Paso 1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.2.4.2.1

Combina $192$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $\frac{192}{x^{4}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{192}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{192}{x^{4}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{192}{x^{4}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$192 = 0$

Paso 2.3

Como $192 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión