Cálculo Ejemplos

$x = 45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10}$

Paso 1

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$ .

$45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Resta $45$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x - 45$

Paso 1.2.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y + \frac{x y}{10} = x - 45 - 3 x$

Paso 1.2.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$5 y + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $5 y + \frac{x y}{10}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$y \cdot 5 + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Paso 1.3.2

Factoriza $y$ de $\frac{x y}{10}$ .

$y \cdot 5 + y (\frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Paso 1.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 5 + y \frac{x}{10}$ .

$y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Paso 1.4

Divide cada término en $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ por $5 + \frac{x}{10}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Divide cada término en $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ por $5 + \frac{x}{10}$ .

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $5 + \frac{x}{10}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Paso 1.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Paso 1.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Paso 1.4.3.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1

Multiplica $\frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$ por $\frac{10}{10}$ .

$y = \frac{10}{10} \cdot \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Paso 1.4.3.2.2

Combinar.

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 (5 + \frac{x}{10})}$

Paso 1.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Paso 1.4.3.4

Cancela el factor común de $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Paso 1.4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Paso 1.4.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.5.1

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$y = \frac{- 20 x + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Paso 1.4.3.5.2

Multiplica $10$ por $- 45$ .

$y = \frac{- 20 x - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Paso 1.4.3.5.3

Factoriza $10$ de $- 20 x - 450$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.5.3.1

Factoriza $10$ de $- 20 x$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Paso 1.4.3.5.3.2

Factoriza $10$ de $- 450$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 (- 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Paso 1.4.3.5.3.3

Factoriza $10$ de $10 (- 2 x) + 10 (- 45)$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Paso 1.4.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.6.1

Multiplica $10$ por $5$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{50 + x}$

Paso 1.4.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 45)}{50 + x}$

Paso 1.4.3.6.3

Reescribe $- 45$ como $- 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 1 (45))}{50 + x}$

Paso 1.4.3.6.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x + 45))}{50 + x}$

Paso 1.4.3.6.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.6.5.1

Reescribe $- (2 x + 45)$ como $- 1 (2 x + 45)$ .

$y = \frac{10 (- 1 (2 x + 45))}{50 + x}$

Paso 1.4.3.6.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 45$ y $g (x) = 50 + x$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \frac{d}{d x} [2 x + 45] - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 45$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5

Como $45$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $45$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + 0) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \cdot 2 - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $50 + x$ .

$- 10 \frac{2 \cdot (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $50 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.8

Como $50$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $50$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \cdot 1}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.11

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.11.2

Combina $- 10$ y $\frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.11.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x) - 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{10 (2 \cdot 50) + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.4.1.1

Multiplica $10 (2 \cdot 50)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.4.1.1.1

Multiplica $2$ por $50$ .

$- \frac{10 \cdot 100 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.1.1.2

Multiplica $10$ por $100$ .

$- \frac{1000 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.1.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- 2 x) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.1.5

Multiplica $10 (- 1 \cdot 45)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 \cdot - 45}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.1.5.2

Multiplica $10$ por $- 45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.2

Combina los términos opuestos en $1000 + 20 x - 20 x - 450$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.4.2.1

Resta $20 x$ de $20 x$ .

$- \frac{1000 + 0 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.2.2

Suma $1000$ y $0$ .

$- \frac{1000 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.1.4.4.3

Resta $450$ de $1000$ .

$f' (x) = - \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$550 = 0$

Paso 3.3

Como $550 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(50 + x)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece $50 + x$ igual a $0$ .

$50 + x = 0$

Paso 4.2.2

Resta $50$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 50$

Paso 5

Evalúa $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa en $x = - 50$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Sustituye $- 50$ por $x$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Paso 5.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Paso 5.1.2.2

Resta $50$ de $50$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{0}$

Paso 5.1.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 6

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos