Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x - 2} - 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x - 2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} + 0$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ y $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{x - 2} - 3$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{1}{(2) - 2} - 3$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{1}{0} - 3$

Paso 4.1.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos