Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} - 8$ y $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8] - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2}) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x - 2$ .

$\frac{3 \cdot (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Resta $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 6 x^{2} + 8$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.4

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.3.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 2.3.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 2.3.2.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 2.3.2.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 2.3.2.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Paso 2.3.2.1.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Paso 2.3.2.1.3.5

Resta $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Paso 2.3.2.1.3.6

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 2.3.2.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.5

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ por $x + 1$ .

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Paso 2.3.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 2.3.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Paso 2.3.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.3.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.3.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.3.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.3.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 2.3.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 2.3.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Paso 2.3.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.3.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.3.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.3.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x + 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Paso 2.3.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Paso 2.3.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Paso 2.3.2.1.6

Escribe $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 2.3.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.3.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Paso 2.3.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$(x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 2.3.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.3.5

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.5.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3.5.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.5.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 1, 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 8}{(- 1) - 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 1 - 8}{- 1 - 2}$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $8$ de $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 1 - 2}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 3}$

Paso 4.1.2.2.2

Divide $- 9$ por $- 3$ .

$3$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{(2) - 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{0}$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, 3)$

Paso 5