Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 8 \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Paso 1.1.2.3

Combina $- 8$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{8}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{8}{x} = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{x}$ al numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 8$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 8$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $8$ por $2$ .

$x^{2} = 4$

Paso 2.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.4.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.4.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{8}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $x^{2} - 8 \ln (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 - 8 \ln (2)$

Paso 4.1.2.2

Simplifica $- 8 \ln (2)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$4 - \ln (2^{8})$

Paso 4.1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$4 - \ln (256)$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{2} - 8 \ln (- 2)$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de un número negativo es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} - 8 \ln (0)$

Paso 4.3.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(2, 4 - \ln (256))$

Paso 5