Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + \frac{128}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{128}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{128}{x}$ con respecto a $x$ es $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 128 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $128$ .

$f' (x) = 2 x - 128 x^{- 2}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 128 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.3.2.1

Combina $- 128$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 128}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - \frac{128}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{128}{x^{2}}$ al numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 128 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $128$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = 128$

Paso 2.4.2

Resta $128$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} - 128 = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 128$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 128 = 0$

Paso 2.4.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 128$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 64 = 0$

Paso 2.4.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 64$ .

$2 (x^{3} - 64) = 0$

Paso 2.4.3.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$2 (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Paso 2.4.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.4

Factoriza.

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Paso 2.4.3.4.1

Simplifica.

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Paso 2.4.3.4.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.4.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Paso 2.4.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Paso 2.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 2.4.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.4.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.4.6

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.6.1

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 2.4.6.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.4.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.4.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.4.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.4.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.4.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{128}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $x^{2} + \frac{128}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

${(4)}^{2} + \frac{128}{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16 + \frac{128}{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Divide $128$ por $4$ .

$16 + 32$

Paso 4.1.2.2

Suma $16$ y $32$ .

$48$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{128}{0}$

Paso 4.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(4, 48)$

Paso 5