Cálculo Ejemplos

$x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{2}{3}}] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 5 - x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - x$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x (\frac{2 {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.7.4

Combina $\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.13

Combina fracciones.

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Paso 1.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.13.2

Combina $\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ y $- 1$ .

$\frac{2 x \cdot - 1}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.13.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.13.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Paso 1.1.15

Multiplica ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1.1.16

Para escribir ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.17

Combina ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.19

Multiplica ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.19.1

Mueve ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3}} {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.19.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.19.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.20

Simplifica ${(5 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- 2 x + (5 - x) \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.21

Mueve $3$ a la izquierda de $5 - x$ .

$\frac{- 2 x + 3 \cdot (5 - x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22

Simplifica.

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Paso 1.1.22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.22.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.22.2.1.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{- 2 x + 15 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 2 x + 15 - 3 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.2.2

Resta $3 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 5 x + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.3

Factoriza $5$ de $- 5 x + 15$ .

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Paso 1.1.22.3.1

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$\frac{5 (- x) + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.3.2

Factoriza $5$ de $15$ .

$\frac{5 (- x) + 5 (3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.3.3

Factoriza $5$ de $5 (- x) + 5 (3)$ .

$\frac{5 (- x + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{5 (- (x) + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.5

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.7

Reescribe $- (x - 3)$ como $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.22.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $5 (x - 3) = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $5 (x - 3) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $x - 3$ por $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{5}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(5 - x)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{5 - x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{5 - x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5 - x}$ como ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(5 - x)}^{1} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 (5 - x) = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$27 \cdot 5 + 27 (- x) = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.6

Multiplica.

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Paso 3.3.2.2.1.6.1

Multiplica $27$ por $5$ .

$135 + 27 (- x) = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$135 - 27 x = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$135 - 27 x = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Resta $135$ de ambos lados de la ecuación.

$- 27 x = - 135$

Paso 3.3.3.2

Divide cada término en $- 27 x = - 135$ por $- 27$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.1

Divide cada término en $- 27 x = - 135$ por $- 27$ .

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Paso 3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 27$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Paso 3.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 135}{- 27}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Divide $- 135$ por $- 27$ .

$x = 5$

Paso 4

Evalúa $x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$(3) {(5 - (3))}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 {(5 - 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.2

Resta $3$ de $5$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$(5) {(5 - (5))}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 {(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $5$ de $5$ .

$5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$5 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$5 \cdot 0^{2}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 \cdot 0$

Paso 4.2.2.3.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(3, 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (5, 0)$

Paso 5