Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - 5 x^{\frac{1}{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{\frac{1}{5}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $5$ de $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Paso 1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Paso 1.1.2.8

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$1 - 5 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Paso 1.1.2.9

Combina $- 5$ y $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$1 + \frac{- 5 x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Paso 1.1.2.10

Mueve $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 5}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.1.2.11

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.1.2.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.12.1

Factoriza $5$ de $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

Paso 1.1.2.12.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.1.2.12.3

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.1.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{4}{5}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{4}{5}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ por $x^{\frac{4}{5}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ por $x^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{4}{5}}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - x^{\frac{4}{5}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ .

$- x^{\frac{4}{5}} = - 1$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{4}{5}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{\frac{4}{5}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{4}{5}}$ por $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} = 1$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{4}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm 1$

Paso 2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$1 - \frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[5]{x^{4}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

${(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{4} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{4} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 3.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.3.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$(1) - 5 {(1)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 5 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$1 - 5$

Paso 4.1.2.2

Resta $5$ de $1$ .

$- 4$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$(- 1) - 5 {(- 1)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

$- 1 - 5 {({(- 1)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 1 - 5 {(- 1)}^{1}$

Paso 4.2.2.1.4

Evalúa el exponente.

$- 1 - 5 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- 1 + 5$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 1$ y $5$ .

$4$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$(0) - 5 {(0)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$0 - 5 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 4.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 4.3.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 4.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$0 - 5 \cdot 0^{1}$

Paso 4.3.2.1.4

Evalúa el exponente.

$0 - 5 \cdot 0$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.3.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(1, - 4), (- 1, 4), (0, 0)$

Paso 5