Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{64 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{64 - x^{2}}$ como ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 64 - x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $64 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $64 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.3

Mueve ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (64 - x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $64 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (64) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.10

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.14

Combina fracciones.

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Paso 1.1.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.18

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.20.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.20.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.1.23

Multiplica ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.24

Para escribir ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26

Multiplica ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26.3

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26.4

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.27

Simplifica ${(64 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.29

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 2 x^{2} + 64 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 64$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 64$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 64$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 64}{- 2}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 64}{- 2}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 2}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide $- 64$ por $- 2$ .

$x^{2} = 32$

Paso 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{32}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{32}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \pm \sqrt{16 (2)}$

Paso 2.3.4.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 4 \sqrt{2}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4 \sqrt{2}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4 \sqrt{2}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{\sqrt{{(- x^{2} + 64)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{\sqrt{- x^{2} + 64}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{- 2 x^{2} + 64}{\sqrt{- x^{2} + 64}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{- x^{2} + 64} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- x^{2} + 64}}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- x^{2} + 64}$ como ${(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${({(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- x^{2} + 64)}^{1} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$- x^{2} + 64 = 0^{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- x^{2} + 64 = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 64$

Paso 3.3.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Divide $- 64$ por $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Paso 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Paso 3.3.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Paso 3.3.3.4.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 3.3.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 8$

Paso 3.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 3.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 3.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 3.4

Establece el radicando en $\sqrt{- x^{2} + 64}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x^{2} + 64 < 0$

Paso 3.5

Resuelve $x$

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Paso 3.5.1

Resta $64$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} < - 64$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- x^{2} < - 64$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término de $- x^{2} < - 64$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 64}{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 64}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 64}{- 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Divide $- 64$ por $- 1$ .

$x^{2} > 64$

Paso 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{64}$

Paso 3.5.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{64}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.2.1

Simplifica $\sqrt{64}$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| x | > \sqrt{8^{2}}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > | 8 |$

Paso 3.5.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $8$ es $8$ .

$| x | > 8$

Paso 3.5.5

Escribe $| x | > 8$ como una función definida por partes.

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Paso 3.5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 3.5.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > 8$

Paso 3.5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 3.5.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > 8$

Paso 3.5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > 8 & x \geq 0 \\ - x > 8 & x < 0 \end{cases}$

Paso 3.5.6

Obtén la intersección de $x > 8$ y $x \geq 0$ .

$x > 8$

Paso 3.5.7

Divide cada término en $- x > 8$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1

Divide cada término de $- x > 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

Paso 3.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{8}{- 1}$

Paso 3.5.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{8}{- 1}$

Paso 3.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.3.1

Divide $8$ por $- 1$ .

$x < - 8$

Paso 3.5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - 8$ o $x > 8$

Paso 3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 8, x \geq 8$

$(- \infty, - 8] \cup [8, \infty)$

$x \leq - 8, x \geq 8$

$(- \infty, - 8] \cup [8, \infty)$

Paso 4

Evalúa $x \sqrt{64 - x^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = 4 \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $4 \sqrt{2}$ por $x$ .

$(4 \sqrt{2}) \sqrt{64 - {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (4^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 4.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 4.1.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 4.1.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 4.1.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 4.1.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{1})}$

Paso 4.1.2.2.5

Evalúa el exponente.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2)}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- (16 \cdot 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 1 \cdot 32}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 32}$

Paso 4.1.2.4

Resta $32$ de $64$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{32}$

Paso 4.1.2.5

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.5.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{16 (2)}$

Paso 4.1.2.5.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 4.1.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 4.1.2.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Paso 4.1.2.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Paso 4.1.2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 4.1.2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$16 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 4.1.2.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 4.1.2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 4.1.2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.1.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.1.2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$16 \cdot 2^{1}$

Paso 4.1.2.8.5

Evalúa el exponente.

$16 \cdot 2$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $16$ por $2$ .

$32$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 4 \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $- 4 \sqrt{2}$ por $x$ .

$(- 4 \sqrt{2}) \sqrt{64 - {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - ({(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 4.2.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 4.2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 4.2.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 4.2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 4.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{1})}$

Paso 4.2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2)}$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- (16 \cdot 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.3.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 1 \cdot 32}$

Paso 4.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 32}$

Paso 4.2.2.4

Resta $32$ de $64$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{32}$

Paso 4.2.2.5

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.5.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{16 (2)}$

Paso 4.2.2.5.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 4.2.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$- 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $- 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.7.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$- 16 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 4.2.2.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Paso 4.2.2.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Paso 4.2.2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 16 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 4.2.2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 16 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 4.2.2.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 4.2.2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 4.2.2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.2.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$- 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.2.2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$- 16 \cdot 2^{1}$

Paso 4.2.2.8.5

Evalúa el exponente.

$- 16 \cdot 2$

Paso 4.2.2.9

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$- 32$

Paso 4.3

Evalúa en $x = - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $- 8$ por $x$ .

$(- 8) \sqrt{64 - {(- 8)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$- 8 \sqrt{64 - 1 \cdot 64}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$- 8 \sqrt{64 - 64}$

Paso 4.3.2.3

Resta $64$ de $64$ .

$- 8 \sqrt{0}$

Paso 4.3.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- 8 \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- 8 \cdot 0$

Paso 4.3.2.6

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$0$

Paso 4.4

Evalúa en $x = 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Sustituye $8$ por $x$ .

$(8) \sqrt{64 - {(8)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$8 \sqrt{64 - 1 \cdot 64}$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$8 \sqrt{64 - 64}$

Paso 4.4.2.3

Resta $64$ de $64$ .

$8 \sqrt{0}$

Paso 4.4.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$8 \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.4.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$8 \cdot 0$

Paso 4.4.2.6

Multiplica $8$ por $0$ .

$0$

Paso 4.5

Enumera todos los puntos.

$(4 \sqrt{2}, 32), (- 4 \sqrt{2}, - 32), (- 8, 0), (8, 0)$

Paso 5