Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 16 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 2.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 2.2.2.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.2.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 2.2.2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 2.2.2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Paso 2.2.2.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Paso 2.2.2.3.5

Resta $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Paso 2.2.2.3.6

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 2.2.2.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Paso 2.2.2.5

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ por $x + 1$ .

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Paso 2.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 2.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 2.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 2.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 2.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Paso 2.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x + 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Paso 2.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Paso 2.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Paso 2.2.2.6

Escribe $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ como un conjunto de factores.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Paso 2.2.3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.2.3.1.3

Reescribe el polinomio.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 2.2.3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 ((x + 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.5

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 1, 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1) - 16$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$1 + 4 + 16 (- 1) - 16$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$1 + 4 - 16 - 16$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $1$ y $4$ .

$5 - 16 - 16$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $16$ de $5$ .

$- 11 - 16$

Paso 4.1.2.2.3

Resta $16$ de $- 11$ .

$- 27$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$16 - 4 \cdot 8 + 16 (2) - 16$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$16 - 32 + 16 (2) - 16$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $16$ por $2$ .

$16 - 32 + 32 - 16$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $32$ de $16$ .

$- 16 + 32 - 16$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $- 16$ y $32$ .

$16 - 16$

Paso 4.2.2.2.3

Resta $16$ de $16$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - 27), (2, 0)$

Paso 5