Cálculo Ejemplos

$y = 2 x - \tan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Paso 2.3

Divide cada término en $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Divide $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Paso 2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Paso 2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Paso 2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Paso 2.7

Resuelve $x$ en $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Paso 2.7.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Paso 2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.2.1

El valor exacto de $arcsec (\sqrt{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.7.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Paso 2.7.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 2.7.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.7.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 2.7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Paso 2.7.4.3.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 2.7.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 2.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.7.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Paso 2.8.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Paso 2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.2.1

El valor exacto de $arcsec (- \sqrt{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.8.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Paso 2.8.4

Simplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 2.8.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 2.8.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.8.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 2.8.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Paso 2.8.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Paso 2.8.4.3.2

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 2.8.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.8.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\sec (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Evalúa $2 x - \tan (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.2.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.2.2.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Paso 4.2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{5 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.3.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 4.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Paso 4.4

Evalúa en $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 4.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 4.4.2.2

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.4.2.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.4.2.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.4.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Paso 4.4.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Paso 4.5

Evalúa en $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye $\frac{9 π}{4}$ por $x$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Paso 4.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Paso 4.5.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Paso 4.5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Paso 4.5.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.5.2.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 4.5.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Paso 4.6

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Paso 5