Cálculo Ejemplos

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 9$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 1.1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 1.1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 1.1.2.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Paso 1.1.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Paso 1.1.2.8

Suma $3$ y $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Paso 1.1.2.9

Combina $\frac{1}{3 x - 9}$ y $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Paso 1.1.2.10

Cancela el factor común de $3$ y $3 x - 9$ .

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Paso 1.1.2.10.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Paso 1.1.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Paso 1.1.2.10.2.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Paso 1.1.2.10.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 1.1.2.10.2.4

Cancela el factor común.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 1.1.2.10.2.5

Reescribe la expresión.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Paso 1.1.2.11

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Paso 1.1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Paso 1.1.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Paso 1.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Paso 1.1.3.3

Resta $4$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 7 = 0$

Paso 2.3

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x - 7}{x - 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 3 = 0$

Paso 3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4

Evalúa $x - 4 \ln (3 x - 9)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 7$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $7$ por $x$ .

$(7) - 4 \ln (3 (7) - 9)$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$7 - 4 \ln (21 - 9)$

Paso 4.1.2.2

Resta $9$ de $21$ .

$7 - 4 \ln (12)$

Paso 4.1.2.3

Simplifica $- 4 \ln (12)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$7 - \ln (12^{4})$

Paso 4.1.2.4

Eleva $12$ a la potencia de $4$ .

$7 - \ln (20736)$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$(3) - 4 \ln (3 (3) - 9)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 - 4 \ln (9 - 9)$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $9$ de $9$ .

$3 - 4 \ln (0)$

Paso 4.2.2.1.3

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$3 - 4 \ln (0)$

Paso 4.2.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(7, 7 - \ln (20736))$

Paso 5