Cálculo Ejemplos

$y = x \ln (x + 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Combina $\frac{1}{x + 3}$ y $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $\frac{x}{x + 3}$ por $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $\ln (x + 3)$ por $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Paso 1.1.4

Para escribir $\ln (x + 3)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Paso 1.1.6.1.1.2

Multiplica $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

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Paso 1.1.6.1.1.2.1

Reordena $\ln (x + 3)$ y $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.6.1.1.2.2

Simplifica $3 \cdot \ln (x + 3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Paso 1.1.6.1.2

Reordena los factores en $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Paso 1.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 1.14544928$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 = 0$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.3

Establece el argumento en $\ln (x + 3)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 \leq 0$

Paso 3.4

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \leq - 3$

Paso 3.5

Establece el argumento en $\ln ({(x + 3)}^{3})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Paso 3.6

Resuelve $x$

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Paso 3.6.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Paso 3.6.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Paso 3.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.6.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.6.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x + 3 \leq 0$

Paso 3.6.3

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \leq - 3$

Paso 3.7

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Paso 4

Evalúa $x \ln (x + 3)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1.14544928$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1.14544928$ por $x$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Suma $- 1.14544928$ y $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Paso 4.1.2.2

Simplifica $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ al mover $1.14544928$ dentro del algoritmo.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Paso 4.1.2.3

Eleva $1.85455071$ a la potencia de $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Paso 4.2.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Paso 5