Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 45 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x^{2} - 45 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 45$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 45 x$ con respecto a $x$ es $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 45 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 45 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 45$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 45$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 6 x - 45$ .

$3 x^{2} - 6 x - 45$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 6 x - 45 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 45 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 6 x - 45$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x - 45 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 45 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $3$ de $- 45$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 15$ .

$3 (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $5, - 3$ .

$5, - 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 6 \cdot - 4 - 45$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot - 4 - 45$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 6 \cdot - 4 - 45$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 + 24 - 45$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $48$ y $24$ .

$f' (- 4) = 72 - 45$

Paso 5.2.2.2

Resta $45$ de $72$ .

$f' (- 4) = 27$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $27$ .

$27$

Paso 5.3

En $x = - 4$ la derivada es $27$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 45$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 45$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 - 45$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 - 45$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $6$ de $3$ .

$f' (1) = - 3 - 45$

Paso 6.2.2.2

Resta $45$ de $- 3$ .

$f' (1) = - 48$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 48$ .

$- 48$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $- 48$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 3, 5)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 6 \cdot 6 - 45$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 6 \cdot 6 - 45$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $36$ .

$f' (6) = 108 - 6 \cdot 6 - 45$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$f' (6) = 108 - 36 - 45$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $36$ de $108$ .

$f' (6) = 72 - 45$

Paso 7.2.2.2

Resta $45$ de $72$ .

$f' (6) = 27$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $27$ .

$27$

Paso 7.3

En $x = 6$ la derivada es $27$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(5, \infty)$ .

Incremento en $(5, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 3), (5, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 3, 5)$

Paso 9