Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $3 x^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 3 x^{2}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x^{3} - 4$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (- 1) = 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Paso 8