Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $3 x^{2} - 12 x$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 12 x$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 12 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $3 x$ de $- 12 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (x - 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 4$ .

$0, 4$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 12 \cdot - 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (- 1) = 3 - 12 \cdot - 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 + 12$

Paso 5.2.2

Suma $3$ y $12$ .

$f' (- 1) = 15$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $15$ .

$15$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $15$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$f' (2) = 12 - 24$

Paso 6.2.2

Resta $24$ de $12$ .

$f' (2) = - 12$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 6.3

En $x = 2$ la derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 4)$ .

Decrecimiento en $(0, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = 3 {(5)}^{2} - 12 \cdot 5$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = 3 \cdot 25 - 12 \cdot 5$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $25$ .

$f' (5) = 75 - 12 \cdot 5$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$f' (5) = 75 - 60$

Paso 7.2.2

Resta $60$ de $75$ .

$f' (5) = 15$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $15$ .

$15$

Paso 7.3

En $x = 5$ la derivada es $15$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 4)$

Paso 9