Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 3 x + 5$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 3 + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $3 x^{2} + 3$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 3$ .

$3 x^{2} + 3$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 3 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 3 = 0$

Paso 2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = - 3$

Paso 2.3

Divide cada término en $3 x^{2} = - 3$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = - 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 3$ por $3$ .

$x^{2} = - 1$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.5

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = x^{3} + 3 x + 5$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 3$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 3$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 + 3$

Paso 5.2.2

Suma $3$ y $3$ .

$f' (1) = 6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 6

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ es $6$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $3 x^{2} + 3 > 0$

Paso 7

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

Siempre creciente

Paso 8