Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

Paso 1.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Factoriza $x {(x + 3)}^{2}$ de $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Factoriza $x {(x + 3)}^{2}$ de $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

Paso 1.1.4.1.2

Factoriza $x {(x + 3)}^{2}$ de $2 {(x + 3)}^{3} x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.1.3

Factoriza $x {(x + 3)}^{2}$ de $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.3

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.4

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.5.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.5.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.5.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.7

Simplifica.

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Paso 1.1.4.7.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.7.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.7.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.7.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.7.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.7.3

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.8.1

Mueve $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.4.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

Paso 1.1.4.9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

Paso 1.1.4.10

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

Paso 1.1.4.11

Expande $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.12.2.1

Mueve $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.1.4.12.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.12.5.1

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.12.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.6

Multiplica $6$ por $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.7

Multiplica $6$ por $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.9

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.12.9.1

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.9.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.10

Multiplica $9$ por $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Paso 1.1.4.12.11

Multiplica $6$ por $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Paso 1.1.4.13

Suma $6 x^{3}$ y $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Paso 1.1.4.14

Suma $36 x^{2}$ y $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $5 x^{4}$ .

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $36 x^{3}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $81 x^{2}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $x$ de $54 x$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $x$ de $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

Paso 2.2.1.7

Factoriza $x$ de $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 2.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

Paso 2.2.2.3

Sustituye $- 3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.2.3.1

Sustituye $- 3$ en el polinomio.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Paso 2.2.2.3.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Paso 2.2.2.3.3

Multiplica $5$ por $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Paso 2.2.2.3.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

Paso 2.2.2.3.5

Multiplica $36$ por $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

Paso 2.2.2.3.6

Suma $- 135$ y $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

Paso 2.2.2.3.7

Multiplica $81$ por $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

Paso 2.2.2.3.8

Resta $243$ de $189$ .

$- 54 + 54$

Paso 2.2.2.3.9

Suma $- 54$ y $54$ .

$0$

Paso 2.2.2.4

Como $- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

Paso 2.2.2.5

Divide $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ por $x + 3$ .

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Paso 2.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

Paso 2.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

Paso 2.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Paso 2.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{3} + 15 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Paso 2.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

Paso 2.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Paso 2.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $21 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Paso 2.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

Paso 2.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $21 x^{2} + 63 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

Paso 2.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

Paso 2.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Paso 2.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Paso 2.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

Paso 2.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $18 x + 54$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

Paso 2.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

Paso 2.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

Paso 2.2.2.6

Escribe $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ como un conjunto de factores.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.3.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ y cuya suma es $b = 21$ .

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Paso 2.2.3.1.1.1.1

Factoriza $21$ de $21 x$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

Paso 2.2.3.1.1.1.2

Reescribe $21$ como $6$ más $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

Paso 2.2.3.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

Paso 2.2.3.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.3.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

Paso 2.2.3.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

Paso 2.2.3.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

Paso 2.2.3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

Paso 2.2.4

Combina exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Paso 2.2.4.2

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Paso 2.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

Paso 2.2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

Establece $5 x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $5 x + 6$ igual a $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $5 x + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 6$

Paso 2.6.2.2

Divide cada término en $5 x = - 6$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 2.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Paso 2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6}{5}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $5$ por $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $36$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $81$ por $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $54$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $2304$ de $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 1024$ y $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

Paso 5.2.2.3

Resta $216$ de $272$ .

$f' (- 4) = 56$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $56$ .

$56$

Paso 5.3

En $x = - 4$ la derivada es $56$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, - \frac{6}{5})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $5$ por $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $36$ por $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.5

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $81$ por $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $54$ por $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $333.396$ de $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 236.1555$ y $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

Paso 6.2.2.3

Resta $113.4$ de $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $7.6545$ .

$7.6545$

Paso 6.3

En $x = - 2.1$ la derivada es $7.6545$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 3, - \frac{6}{5})$ .

Incremento en $(- 3, - \frac{6}{5})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.6$ en la expresión.

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.6$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $5$ por $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 0.6$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $36$ por $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Paso 7.2.1.5

Eleva $- 0.6$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $81$ por $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $54$ por $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $7.776$ de $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 7.128$ y $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

Paso 7.2.2.3

Resta $32.4$ de $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 10.368$ .

$- 10.368$

Paso 7.3

En $x = - 0.6$ la derivada es $- 10.368$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1.2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{6}{5}, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Paso 8.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $36$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Paso 8.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $81$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

Paso 8.2.1.7

Multiplica $54$ por $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 8.2.2.1

Suma $5$ y $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

Paso 8.2.2.2

Suma $41$ y $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

Paso 8.2.2.3

Suma $122$ y $54$ .

$f' (1) = 176$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $176$ .

$176$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $176$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \frac{6}{5}, 0)$

Paso 10