Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.10

Resta $4$ de $1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

Paso 1.1.2.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{3}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Suma $3$ y $1$ .

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{3}$ .

$2 x^{4} + 2 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{4} = - 2$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $2 x^{4} = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $2 x^{4} = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$x^{4} = - 1$

Paso 2.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Paso 2.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Paso 2.4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Paso 2.4.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Paso 2.5

Excluye las soluciones que no hagan que $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{2}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

Paso 6.2.1.3

Divide $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 - 2$

Paso 6.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = - 4$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

Paso 7.2.1.3

Divide $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 + 2$

Paso 7.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$f' (1) = 4$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $4$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0)$

Paso 9