Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x$ .

$2 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 2 x$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x^{2}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 2 (- 1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 2$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 2 (1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0)$

Paso 8