Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 7 x - 7$ y $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [7 x - 7] - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{(x + 7) (7 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 7) (7 + 0) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{(x + 7) \cdot 7 - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x + 7$ .

$\frac{7 \cdot (x + 7) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{7 x + 49 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $7 x + 49 - 7 x + 7$ .

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Paso 1.1.3.3.2.1

Resta $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{0 + 49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2.2

Suma $0$ y $49$ .

$\frac{49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.3

Suma $49$ y $7$ .

$f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$56 = 0$

Paso 2.3

Como $56 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 7)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$ .

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 7)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f' (- 8) = \frac{56}{{((- 8) + 7)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 8$ y $7$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{1}$

Paso 6.2.2

Divide $56$ por $1$ .

$f' (- 8) = 56$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $56$ .

$56$

Paso 6.3

En $x = - 8$ la derivada es $56$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 7)$ .

Incremento en $(- \infty, - 7)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 7, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = \frac{56}{{((- 6) + 7)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $- 6$ y $7$ .

$f' (- 6) = \frac{56}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- 6) = \frac{56}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $56$ por $1$ .

$f' (- 6) = 56$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $56$ .

$56$

Paso 7.3

En $x = - 6$ la derivada es $56$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 7, \infty)$ .

Incremento en $(- 7, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 7), (- 7, \infty)$

Paso 9