Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 5}$ como ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (5))$

Paso 1.1.10

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Paso 1.1.11

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Paso 1.1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Paso 1.1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.11.4

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.11.5

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.1.2

Suma $1$ y $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.2

Suma $1$ y $5$ .

$f' (1) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0)$

Paso 8