Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 63}{x - 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 63$ y $g (x) = x - 8$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) \frac{d}{d x} (x^{2} - 63) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 63$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63)) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} (- 63)) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 63$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 63$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x + 0) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 8$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 8) x) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 8) x - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 63$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 x + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $x^{2} - 16 x + 63$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $63$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 9, - 7$

Paso 1.1.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 9) (x - 7) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 2.3.3

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 9) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 9, 7$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $9, 7$ .

$9, 7$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 7) \cup (7, 8) \cup (8, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 7)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = \frac{((6) - 9) ((6) - 7)}{{((6) - 8)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Resta $9$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 (6 - 7)}{{(6 - 8)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $7$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(6 - 8)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $8$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (6) = \frac{3}{4}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 6.3

En $x = 6$ la derivada es $\frac{3}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 7)$ .

Incremento en $(- \infty, 7)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(7, 8)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{15}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{((\frac{15}{2}) - 9) ((\frac{15}{2}) - 7)}{{((\frac{15}{2}) - 8)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{(\frac{15}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{(\frac{15}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}) (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{15 - 9 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{15 - 18}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4.2

Resta $18$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Combina $- 7$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{15 - 7 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.9.1

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{15 - 14}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.9.2

Resta $14$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.10

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.1.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15 - 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15 - 16}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4.2

Resta $16$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Paso 7.2.2.11

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Paso 7.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{15}{2}) = - 3$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 7.3

En $x = \frac{15}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(7, 8)$ .

Decrecimiento en $(7, 8)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(8, 9)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{17}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 9) ((\frac{17}{2}) - 7)}{{((\frac{17}{2}) - 8)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 9 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 18}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4.2

Resta $18$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Combina $- 7$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{17 - 7 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.9.1

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{17 - 14}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9.2

Resta $14$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.10.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 16}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4.2

Resta $16$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Paso 8.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 8.3

En $x = \frac{17}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(8, 9)$ .

Decrecimiento en $(8, 9)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(9, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f' (10) = \frac{((10) - 9) ((10) - 7)}{{((10) - 8)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Resta $9$ de $10$ .

$f' (10) = \frac{1 (10 - 7)}{{(10 - 8)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $10 - 7$ por $1$ .

$f' (10) = \frac{10 - 7}{{(10 - 8)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Resta $7$ de $10$ .

$f' (10) = \frac{3}{{(10 - 8)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Resta $8$ de $10$ .

$f' (10) = \frac{3}{2^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (10) = \frac{3}{4}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 9.3

En $x = 10$ la derivada es $\frac{3}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(9, \infty)$ .

Incremento en $(9, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 7), (9, \infty)$

Decrecimiento en: $(7, 8), (8, 9)$

Paso 11