Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 9}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 9$ y $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Paso 1.1.9

Simplifica.

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Paso 1.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.3.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = \frac{((- 4) + 3) ((- 4) - 3)}{{(- 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 4$ y $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 (- 4 - 3)}{{(- 4)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $3$ de $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 \cdot - 7}{{(- 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 \cdot - 7}{16}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$f' (- 4) = \frac{7}{16}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Paso 6.3

En $x = - 4$ la derivada es $\frac{7}{16}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{((- \frac{3}{2}) + 3) ((- \frac{3}{2}) - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{(- \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}) (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{(- \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}) (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 3 + 6}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.4.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.8.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 3 - 6}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.8.2

Resta $6$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 9}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.10

Combina exponentes.

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Paso 7.2.1.10.1

Factoriza el negativo.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.10.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.10.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.1.10.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Paso 7.2.2.6

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 7.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{4}$ al numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 7.2.4.2

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 7.2.4.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 7.2.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 7.3

En $x = - \frac{3}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 3, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{((\frac{3}{2}) + 3) ((\frac{3}{2}) - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{(\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{(\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}) (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3 + 3 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3 + 6}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.4.2

Suma $3$ y $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.8.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{3 - 6}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.8.2

Resta $6$ de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{- 3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Combina exponentes.

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Paso 8.2.1.10.1

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.10.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.10.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{2 \cdot 2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.10.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 8.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{4}$ al numerador.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 8.2.4.2

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{9 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 8.2.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{9 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 8.2.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3$

Paso 8.2.6

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 8.3

En $x = \frac{3}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{((4) + 3) ((4) - 3)}{{(4)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.1

Suma $4$ y $3$ .

$f' (4) = \frac{7 (4 - 3)}{4^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Resta $3$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{7 \cdot 1}{4^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = \frac{7 \cdot 1}{16}$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (4) = \frac{7}{16}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Paso 9.3

En $x = 4$ la derivada es $\frac{7}{16}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 3, 0), (0, 3)$

Paso 11