Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 4) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2

Resta $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 12 x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.6.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.6.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Paso 1.1.6.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} (x^{2} - 12) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.3.2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x^{2} - 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x^{2} - 12$ igual a $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $x^{2} - 12 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 12$

Paso 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Paso 2.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{12}$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Paso 2.3.3.2.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x^{2} - 12) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$ .

$0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.2.3

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.4641016$ en la expresión.

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} ({(- 4.4641016)}^{2} - 12)}{{((- 4.4641016) + 2)}^{2} {((- 4.4641016) - 2)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 4.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $12$ de $19.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 4.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 4.4641016$ y $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $2$ de $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 6.4641016)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $- 2.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 {(- 6.4641016)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 6.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $19.92820309$ por $7.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $6.07179669$ por $41.78460949$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Paso 6.2.3.3

Divide $157.99484145$ por $253.70765383$ .

$f' (- 4.4641016) = 0.62274369$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $0.62274369$ .

$0.62274369$

Paso 6.3

En $x = - 4.4641016$ la derivada es $0.62274369$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3.4641016, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.7320508$ en la expresión.

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} ({(- 2.7320508)}^{2} - 12)}{{((- 2.7320508) + 2)}^{2} {((- 2.7320508) - 2)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 2.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Resta $12$ de $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 2.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 2.7320508$ y $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $2$ de $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 4.7320508)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $- 0.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 {(- 4.7320508)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $- 4.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $7.46410157$ por $- 4.53589842$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $0.53589837$ por $22.39230477$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Paso 7.2.3.3

Divide $- 33.85640658$ por $11.99999971$ .

$f' (- 2.7320508) = - 2.82136728$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Paso 7.3

En $x = - 2.7320508$ la derivada es $- 2.82136728$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 3.4641016, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} - 12)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} (1 - 12)}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Resta $12$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 {(- 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 \cdot 9}$

Paso 8.2.2.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{9}$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{11}{9}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Paso 8.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{11}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{{(1)}^{2} ({(1)}^{2} - 12)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{1^{2} (1 - 12)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Resta $12$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{1^{2} \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 {(- 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 \cdot 1}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.3.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9}$

Paso 9.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (1) = - \frac{11}{9}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Paso 9.3

En $x = 1$ la derivada es $- \frac{11}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 2)$ .

Decrecimiento en $(0, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(2, 2 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.7320508$ en la expresión.

$f' (2.7320508) = \frac{{(2.7320508)}^{2} ({(2.7320508)}^{2} - 12)}{{((2.7320508) + 2)}^{2} {((2.7320508) - 2)}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Eleva $2.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 10.2.1.2

Resta $12$ de $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 10.2.1.3

Eleva $2.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Suma $2.7320508$ y $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Paso 10.2.2.2

Resta $2$ de $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} \cdot {0.7320508}^{2}}$

Paso 10.2.2.3

Eleva $4.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot {0.7320508}^{2}}$

Paso 10.2.2.4

Eleva $0.7320508$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Paso 10.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.1

Multiplica $7.46410157$ por $- 4.53589842$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $22.39230477$ por $0.53589837$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Paso 10.2.3.3

Divide $- 33.85640658$ por $11.99999971$ .

$f' (2.7320508) = - 2.82136728$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Paso 10.3

En $x = 2.7320508$ la derivada es $- 2.82136728$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(2, 2 \sqrt{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 11

Sustituye un valor del intervalo $(2 \sqrt{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.4641016$ en la expresión.

$f' (4.4641016) = \frac{{(4.4641016)}^{2} ({(4.4641016)}^{2} - 12)}{{((4.4641016) + 2)}^{2} {((4.4641016) - 2)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Eleva $4.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 11.2.1.2

Resta $12$ de $19.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 11.2.1.3

Eleva $4.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Suma $4.4641016$ y $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Paso 11.2.2.2

Resta $2$ de $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} \cdot {2.4641016}^{2}}$

Paso 11.2.2.3

Eleva $6.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot {2.4641016}^{2}}$

Paso 11.2.2.4

Eleva $2.4641016$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Paso 11.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.3.1

Multiplica $19.92820309$ por $7.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $41.78460949$ por $6.07179669$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Paso 11.2.3.3

Divide $157.99484145$ por $253.70765383$ .

$f' (4.4641016) = 0.62274369$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $0.62274369$ .

$0.62274369$

Paso 11.3

En $x = 4.4641016$ la derivada es $0.62274369$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Incremento en $(2 \sqrt{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 12

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2 \sqrt{3}), (2 \sqrt{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 2 \sqrt{3}, - 2), (- 2, 0), (0, 2), (2, 2 \sqrt{3})$

Paso 13