Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 9$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x$ .

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Paso 1.1.3.5.1.1

Resta $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Suma $2 \cdot - 4 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 18 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Suma $- 8 x$ y $18 x$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.3.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$10 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $10 x = 0$ por $10$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $10 x = 0$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $10$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.2.3

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = \frac{10 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 3$ y $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 {(- 5)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 \cdot 25}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $25$ por $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{25}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $- 30$ y $25$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $5$ de $- 30$ .

$f' (- 3) = \frac{5 (- 6)}{25}$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 3) = \frac{- 6}{5}$

Paso 6.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5}$

Paso 6.3

En $x = - 3$ la derivada es $- \frac{6}{5}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{10 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 {(- 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 \cdot 9}$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{9}$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{10}{9}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{10}{9}$ .

$- \frac{10}{9}$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{10}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{10 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Multiplica $10$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 {(- 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 \cdot 1}$

Paso 8.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{9}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $\frac{10}{9}$ .

$\frac{10}{9}$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $\frac{10}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 2)$ .

Incremento en $(0, 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = \frac{10 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $10$ por $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Suma $3$ y $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1}$

Paso 9.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica $25$ por $1$ .

$f' (3) = \frac{30}{25}$

Paso 9.2.3.2

Cancela el factor común de $30$ y $25$ .

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$f' (3) = \frac{5 (6)}{25}$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Paso 9.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Paso 9.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (3) = \frac{6}{5}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Paso 9.3

En $x = 3$ la derivada es $\frac{6}{5}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 2), (2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Paso 11