Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 80}{x - 9}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 80$ y $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 80] - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 80$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 80$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 80$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + 0) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 80$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $x^{2} - 18 x + 80$ con el método AC.

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Paso 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $80$ y cuya suma es $- 18$ .

$- 10, - 8$

Paso 1.1.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 10) (x - 8) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 2.3.3

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 10) (x - 8) = 0$ verdadera.

$x = 10, 8$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $10, 8$ .

$10, 8$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 8) \cup (8, 9) \cup (9, 10) \cup (10, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 8)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = \frac{((7) - 10) ((7) - 8)}{{((7) - 9)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Resta $10$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 (7 - 8)}{{(7 - 9)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $8$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(7 - 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Resta $9$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (7) = \frac{3}{4}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 6.3

En $x = 7$ la derivada es $\frac{3}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 8)$ .

Incremento en $(- \infty, 8)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(8, 9)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{17}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 10) ((\frac{17}{2}) - 8)}{{((\frac{17}{2}) - 9)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Para escribir $- 10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Combina $- 10$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.4.1

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 20}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4.2

Resta $20$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.9.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 16}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.9.2

Resta $16$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.10

Combina exponentes.

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Paso 7.2.1.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 18}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4.2

Resta $18$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Paso 7.2.2.11

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Paso 7.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 7.3

En $x = \frac{17}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(8, 9)$ .

Decrecimiento en $(8, 9)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(9, 10)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{19}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{((\frac{19}{2}) - 10) ((\frac{19}{2}) - 8)}{{((\frac{19}{2}) - 9)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Para escribir $- 10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Combina $- 10$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.4.1

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 20}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4.2

Resta $20$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.9.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 16}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9.2

Resta $16$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Combina exponentes.

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Paso 8.2.1.10.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 18}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4.2

Resta $18$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Paso 8.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{19}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{19}{2}) = - 3$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 8.3

En $x = \frac{19}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(9, 10)$ .

Decrecimiento en $(9, 10)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(10, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $11$ en la expresión.

$f' (11) = \frac{((11) - 10) ((11) - 8)}{{((11) - 9)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.1

Resta $10$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{1 (11 - 8)}{{(11 - 9)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $11 - 8$ por $1$ .

$f' (11) = \frac{11 - 8}{{(11 - 9)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Resta $8$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{{(11 - 9)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Resta $9$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{2^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (11) = \frac{3}{4}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 9.3

En $x = 11$ la derivada es $\frac{3}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(10, \infty)$ .

Incremento en $(10, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 8), (10, \infty)$

Decrecimiento en: $(8, 9), (9, 10)$

Paso 11