Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = x + 6$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x + 6$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2)}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 6 - x + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x + 6 - x - - 2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Suma $0$ y $6$ .

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Suma $6$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 = 0$

Paso 2.3

Como $8 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 6)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$ .

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f' (- 7) = \frac{8}{{((- 7) + 6)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 7$ y $6$ .

$f' (- 7) = \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{8}{1}$

Paso 6.2.2

Divide $8$ por $1$ .

$f' (- 7) = 8$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 6.3

En $x = - 7$ la derivada es $8$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 6)$ .

Incremento en $(- \infty, - 6)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 6, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = \frac{8}{{((- 5) + 6)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $- 5$ y $6$ .

$f' (- 5) = \frac{8}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- 5) = \frac{8}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $8$ por $1$ .

$f' (- 5) = 8$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 7.3

En $x = - 5$ la derivada es $8$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 6, \infty)$ .

Incremento en $(- 6, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 6), (- 6, \infty)$

Paso 9