Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Paso 1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 1.1.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.2.4

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.4.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $4$ de $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Paso 6.3

En $x = - 3$ la derivada es $\frac{6}{25}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $\frac{2}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2, 0)$ .

Incremento en $(- 2, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $- \frac{2}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 2)$ .

Decrecimiento en $(0, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Resta $4$ de $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Paso 9.3

En $x = 3$ la derivada es $- \frac{6}{25}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(2, \infty)$ .

Decrecimiento en $(2, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Decrecimiento en: $(0, 2), (2, \infty)$

Paso 11