Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} - 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1, - 1$ .

$1, - 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{2} - 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = 4 - 1$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$f' (- 2) = 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = {(0)}^{2} - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f' (0) = - 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 1)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 4 - 1$

Paso 7.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$f' (2) = 3$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 1, 1)$

Paso 9