Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + x^{2}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Multiplica.

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Paso 1.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.10.2

Multiplica $1 + x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.5.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.5.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Combina los términos opuestos en $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

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Paso 1.1.3.5.2.1

Suma $- 2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2.2

Suma $2 x + 2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.3.7.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.7.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Paso 1.1.3.7.4

Aplica la regla del producto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Establece ${(1 + x)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece ${(1 + x)}^{2}$ igual a $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2.2

Resuelve ${(1 + x)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Establece $1 + x$ igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4.2.3

Establece ${(1 - x)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(1 - x)}^{2}$ igual a $0$ .

${(1 - x)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(1 - x)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.3.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 4.2.3.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.3.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.3.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.3.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $- \frac{8}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.3

Resta $1$ de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.5

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 7.2.3.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.8

Suma $2$ y $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.9

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Paso 7.2.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Paso 7.2.3.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Paso 7.2.3.12

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

Paso 7.2.3.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4

Combina fracciones.

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Paso 7.2.4.1

Divide $- 4$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Paso 7.2.4.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

Paso 7.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

Paso 7.2.6

Multiplica $- 2 (\frac{16}{9})$ .

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Paso 7.2.6.1

Combina $- 2$ y $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

Paso 7.2.6.2

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

Paso 7.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

Paso 7.2.8

La respuesta final es $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

Paso 7.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{32}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Combina fracciones.

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Paso 8.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7

Resta $1$ de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 8.2.3

Combina fracciones.

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Paso 8.2.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

Paso 8.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

Paso 8.2.5

Multiplica $2 (\frac{16}{9})$ .

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Paso 8.2.5.1

Combina $2$ y $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

Paso 8.2.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

Paso 8.2.6

La respuesta final es $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

Paso 8.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $\frac{32}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 1)$ .

Incremento en $(0, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Resta $2$ de $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

Paso 9.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Paso 9.3

En $x = 2$ la derivada es $\frac{8}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 1), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Paso 11