Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Paso 1.1.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Paso 1.1.1.3

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ como ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.1.3.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Paso 1.1.3.8

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Combina $4$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Paso 1.1.5.2

Reordena los factores de $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.3

Establece $2 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $2 x - 2$ igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 2$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$x = 1$

Paso 2.4

Establece $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ igual a $0$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 2.4.2.2

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1$ .

$1$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 4.2.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla del producto a $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.2.4

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.4.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.4.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2.4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

Paso 6.2.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Paso 6.2.1.4

Resta $3$ de $8$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Paso 6.2.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

Paso 6.2.2.2

Resta $2$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 6 (\frac{4}{25})$ .

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Paso 6.2.3.1

Combina $- 6$ y $\frac{4}{25}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

Paso 6.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $- \frac{24}{25}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

Paso 7.2.1.3

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Paso 7.2.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Paso 7.2.1.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

Paso 7.2.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 2 (\frac{4}{9})$ .

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Paso 7.2.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{4}{9}$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

Paso 7.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Paso 7.3

En $x = 0$ la derivada es $- \frac{8}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 1)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

Paso 8.2.1.3

Resta $4$ de $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Paso 8.2.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.1.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

Paso 8.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

Paso 8.2.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

Paso 8.2.3

Multiplica $2 (\frac{4}{9})$ .

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Paso 8.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{4}{9}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Paso 8.3

En $x = 2$ la derivada es $\frac{8}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, 3)$ .

Incremento en $(1, 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

Paso 9.2.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Paso 9.2.1.4

Resta $3$ de $8$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Paso 9.2.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

Paso 9.2.2.2

Resta $2$ de $8$ .

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

Paso 9.2.3

Multiplica $6 (\frac{4}{25})$ .

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Paso 9.2.3.1

Combina $6$ y $\frac{4}{25}$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{24}{25}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Paso 9.3

En $x = 4$ la derivada es $\frac{24}{25}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, 3), (3, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

Paso 11