Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 3^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

Paso 1.1.2.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $3^{- x} \ln (3)$ .

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

Paso 1.1.2.3.3

Reescribe $- 1 \cdot 3^{- x}$ como $- 3^{- x}$ .

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3^{- x} \ln (3)$ .

$- 3^{- x} \ln (3)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = 3^{- x}$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- \frac{1}{3} \ln (3)$ .

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Paso 5.2.3.1

Reordena $\ln (3)$ y $\frac{1}{3}$ .

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

Paso 5.2.3.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (3)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Paso 6

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ es $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ , que es negativa, de modo que la gráfica es decreciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \infty)$

Paso 7

El decrecimiento durante el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre está disminuyendo.

Siempre decreciente

Paso 8