Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $x^{2} - 36$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.9

Combina $2$ y $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.10

Simplifica.

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Paso 1.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.1.10.2.2

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Suma $72$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = 72$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = 72$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = 72$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide $72$ por $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Paso 2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Paso 2.3.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Paso 2.3.4.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Paso 2.3.4.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 6$

Paso 2.3.4.6

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 6 i$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 6 i$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 6 i$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 6 i, - 6 i$

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Establece ${(x + 6)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(x + 6)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x + 6)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 4.2.4

Establece ${(x - 6)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.4.1

Establece ${(x - 6)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Paso 4.2.4.2

Resuelve ${(x - 6)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 6, 6$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $72$ de $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $36$ de $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Paso 6.3

En $x = - 7$ la derivada es $- \frac{170}{169}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 6)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 6)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 6, 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $72$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $36$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común de $- 72$ y $1296$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Factoriza $72$ de $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1.2.1

Factoriza $72$ de $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Paso 7.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Paso 7.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Paso 7.3

En $x = 0$ la derivada es $- \frac{1}{18}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 6, 6)$ .

Decrecimiento en $(- 6, 6)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Resta $72$ de $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $36$ de $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Paso 8.3

En $x = 7$ la derivada es $- \frac{170}{169}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(6, \infty)$ .

Decrecimiento en $(6, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Paso 10