Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 24 x - 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 24 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{6}{3}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.6.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $2 x^{2} - 2 x - 24$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x^{2} - 2 x - 24$ .

$2 x^{2} - 2 x - 24$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 2 x - 24$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 2 x - 24 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) - 24 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 12) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 12) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - x) + 2 (- 12)$ .

$2 (x^{2} - x - 12) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 4) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $4, - 3$ .

$4, - 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 24$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = 2 \cdot 16 - 2 \cdot - 4 - 24$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f' (- 4) = 32 - 2 \cdot - 4 - 24$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 32 + 8 - 24$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $32$ y $8$ .

$f' (- 4) = 40 - 24$

Paso 5.2.2.2

Resta $24$ de $40$ .

$f' (- 4) = 16$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $16$ .

$16$

Paso 5.3

En $x = - 4$ la derivada es $16$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (2)}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) - 24$

Paso 6.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) - 24$

Paso 6.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 1 - 24$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} - 24$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - 24$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - 24$

Paso 6.2.2.4

Escribe $- 24$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 24}{1}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 24 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 1 \cdot 2 - 24 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 24 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 24$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 48}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Resta $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 48}{2}$

Paso 6.2.5.2

Resta $48$ de $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 49}{2}$

Paso 6.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{49}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{2}$

Paso 6.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{49}{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 3, 4)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = 2 {(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 24$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = 2 \cdot 25 - 2 \cdot 5 - 24$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$f' (5) = 50 - 2 \cdot 5 - 24$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f' (5) = 50 - 10 - 24$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $10$ de $50$ .

$f' (5) = 40 - 24$

Paso 7.2.2.2

Resta $24$ de $40$ .

$f' (5) = 16$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $16$ .

$16$

Paso 7.3

En $x = 5$ la derivada es $16$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 3), (4, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 3, 4)$

Paso 9