Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{5} - 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $15 u$ de $15 u^{2} - 15 u$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $15 u$ de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza $15 u$ de $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Paso 2.2.3.3

Factoriza $15 u$ de $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.5.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1, - 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $15$ por $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 15$ por $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Paso 5.2.2

Resta $60$ de $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $180$ .

$180$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $180$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Combina $15$ y $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Paso 6.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 6.2.1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Paso 6.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Paso 6.2.1.12

Combina $- 15$ y $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Paso 6.2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Paso 6.2.2

Para escribir $- \frac{15}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $\frac{15}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 15$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Paso 6.2.5.2

Resta $60$ de $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Paso 6.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{45}{16}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Combina $15$ y $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Paso 7.2.1.8

Combina $- 15$ y $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Paso 7.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Paso 7.2.2

Para escribir $- \frac{15}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{15}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 15$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Paso 7.2.5.2

Resta $60$ de $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Paso 7.2.7

La respuesta final es $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Paso 7.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{45}{16}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $15$ por $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 15$ por $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Paso 8.2.2

Resta $60$ de $240$ .

$f' (2) = 180$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $180$ .

$180$

Paso 8.3

En $x = 2$ la derivada es $180$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 1, 0), (0, 1)$

Paso 10