Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 - | x |$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - | x |$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Paso 1.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- | x |$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Paso 1.1.3

Resta $\frac{x}{| x |}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 2.3

Excluye las soluciones que no hagan que $- \frac{x}{| x |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{x}{| x |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x | = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{x}{| x |}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 4 - | x |$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{| - 1 |}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{1}$

Paso 6.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$f' (- 1) = 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{1}{| 1 |}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0)$

Decrecimiento en: $(0, \infty)$

Paso 9