Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Paso 1.1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Paso 1.1.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0))$

Paso 1.1.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.12.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 1.1.12.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.13

Simplifica.

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Paso 1.1.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.13.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.13.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.1.13.3.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$4 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.4

Combina $4$ y $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.5

Factoriza $2$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.13.3.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.6.4

Divide $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.7

Combina $2$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.8

Cancela el factor común.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.9

Reescribe la expresión.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.10

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.3.11

Suma $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$6 x^{\frac{2}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$6 x^{1} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica $6 x^{1}$ .

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$6 x + 4 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 4 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x = - 4$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $6 x = - 4$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $6 x = - 4$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 2.4.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 2.5

Excluye las soluciones que no hagan que $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Paso 4.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Paso 4.1.4

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{4}{\sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 4.4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 4.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.2

Evalúa el exponente.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.4.1

Reescribe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Paso 6.2.1.4.2

Evalúa el exponente.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Paso 6.2.1.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{4}{i}$ por el conjugado de $i$ para hacer real el denominador.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Combinar.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Paso 6.2.1.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.6.2.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Paso 6.2.1.6.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Paso 6.2.1.6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{1 + 1}}$

Paso 6.2.1.6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{2}}$

Paso 6.2.1.6.2.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{- 1}$

Paso 6.2.1.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 6 i - 1 \cdot (4 i)$

Paso 6.2.1.8

Reescribe $- 1 \cdot (4 i)$ como $- (4 i)$ .

$f' (- 1) = 6 i - (4 i)$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i - 4 i$

Paso 6.2.2

Resta $4 i$ de $6 i$ .

$f' (- 1) = 2 i$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2 i$ .

$2 i$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $2 i$ . Como esta contiene un número imaginario, la función no existe en $(- \infty, 0)$ .

La función no es real en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x)$ es imaginario

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 6 {(1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$f' (1) = 6 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 6 + \frac{4}{1}$

Paso 7.2.1.4

Divide $4$ por $1$ .

$f' (1) = 6 + 4$

Paso 7.2.2

Suma $6$ y $4$ .

$f' (1) = 10$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $10$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \infty)$

Paso 9