Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $12 x^{2} + 6 x - 6$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $6$ de $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $6$ de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $6$ de $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $6$ de $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{1}{2}, - 1$ .

$\frac{1}{2}, - 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot 4 + 6 (- 2) - 6$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$f' (- 2) = 48 + 6 (- 2) - 6$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 48 - 12 - 6$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.2.1

Resta $12$ de $48$ .

$f' (- 2) = 36 - 6$

Paso 5.2.2.2

Resta $6$ de $36$ .

$f' (- 2) = 30$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $30$ .

$30$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $30$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \frac{1}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.25$ en la expresión.

$f' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.25$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 6$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.0625$ .

$f' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 6$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 6$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $1.5$ de $0.75$ .

$f' (- 0.25) = - 0.75 - 6$

Paso 6.2.2.2

Resta $6$ de $- 0.75$ .

$f' (- 0.25) = - 6.75$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 6.75$ .

$- 6.75$

Paso 6.3

En $x = - 0.25$ la derivada es $- 6.75$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, \frac{1}{2})$ .

Decrecimiento en $(- 1, \frac{1}{2})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.5$ en la expresión.

$f' (1.5) = 12 {(1.5)}^{2} + 6 (1.5) - 6$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.5$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.5) = 12 \cdot 2.25 + 6 (1.5) - 6$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $2.25$ .

$f' (1.5) = 27 + 6 (1.5) - 6$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $1.5$ .

$f' (1.5) = 27 + 9 - 6$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $27$ y $9$ .

$f' (1.5) = 36 - 6$

Paso 7.2.2.2

Resta $6$ de $36$ .

$f' (1.5) = 30$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $30$ .

$30$

Paso 7.3

En $x = 1.5$ la derivada es $30$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{2}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (\frac{1}{2}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 1, \frac{1}{2})$

Paso 9