Cálculo Ejemplos

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{3} - 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 15 x^{4}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $15 u$ de $- 15 u^{2} + 60 u$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $15 u$ de $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza $15 u$ de $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Paso 2.2.3.3

Factoriza $15 u$ de $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $- x^{2} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $- x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- x^{2} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 4$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Paso 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.5.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, - 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 2, - 2$ .

$0, 2, - 2$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = - 15 {(- 3)}^{4} + 60 {(- 3)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(- 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 15$ por $81$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 {(- 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $60$ por $9$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 540$

Paso 5.2.2

Suma $- 1215$ y $540$ .

$f' (- 3) = - 675$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 675$ .

$- 675$

Paso 5.3

En $x = - 3$ la derivada es $- 675$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 15 {(- 1)}^{4} + 60 {(- 1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(- 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 {(- 1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $60$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60$

Paso 6.2.2

Suma $- 15$ y $60$ .

$f' (- 1) = 45$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $45$ .

$45$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $45$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2, 0)$ .

Incremento en $(- 2, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 15 {(1)}^{4} + 60 {(1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60 {(1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 15 + 60 \cdot 1$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $60$ por $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60$

Paso 7.2.2

Suma $- 15$ y $60$ .

$f' (1) = 45$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $45$ .

$45$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $45$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 2)$ .

Incremento en $(0, 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - 15 {(3)}^{4} + 60 {(3)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f' (3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(3)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 15$ por $81$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 {(3)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $60$ por $9$ .

$f' (3) = - 1215 + 540$

Paso 8.2.2

Suma $- 1215$ y $540$ .

$f' (3) = - 675$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 675$ .

$- 675$

Paso 8.3

En $x = 3$ la derivada es $- 675$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(2, \infty)$ .

Decrecimiento en $(2, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 2, 0), (0, 2)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Paso 10