Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.1.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.9

Combina $6$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.11

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 1.1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.12.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 4.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.3.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.3.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 6.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 6.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

Paso 6.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Paso 9