Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 + 4 x^{2} - x^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 4 x^{2} - x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 1.1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Suma $0$ y $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 8 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $- 4 x$ de $8 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ .

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.4142135$ en la expresión.

$f' (- 2.4142135) = - 4 {(- 2.4142135)}^{3} + 8 (- 2.4142135)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.4142135$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 \cdot - 14.07106672 + 8 (- 2.4142135)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 14.07106672$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 + 8 (- 2.4142135)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $8$ por $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 - 19.313708$

Paso 5.2.2

Resta $19.313708$ de $56.28426688$ .

$f' (- 2.4142135) = 36.97055888$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $36.97055888$ .

$36.97055888$

Paso 5.3

En $x = - 2.4142135$ la derivada es $36.97055888$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \sqrt{2})$ .

Incremento en $(- \infty, - \sqrt{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.4142135, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.70710675$ en la expresión.

$f' (- 0.70710675) = - 4 {(- 0.70710675)}^{3} + 8 (- 0.70710675)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.70710675$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 \cdot - 0.35355334 + 8 (- 0.70710675)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 0.35355334$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 + 8 (- 0.70710675)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $8$ por $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 - 5.656854$

Paso 6.2.2

Resta $5.656854$ de $1.41421337$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4.24264062$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4.24264062$ .

$- 4.24264062$

Paso 6.3

En $x = - 0.70710675$ la derivada es $- 4.24264062$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1.4142135, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \sqrt{2}, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.70710675$ en la expresión.

$f' (0.70710675) = - 4 {(0.70710675)}^{3} + 8 (0.70710675)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.70710675$ a la potencia de $3$ .

$f' (0.70710675) = - 4 \cdot 0.35355334 + 8 (0.70710675)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $0.35355334$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 8 (0.70710675)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $8$ por $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 5.656854$

Paso 7.2.2

Suma $- 1.41421337$ y $5.656854$ .

$f' (0.70710675) = 4.24264062$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $4.24264062$ .

$4.24264062$

Paso 7.3

En $x = 0.70710675$ la derivada es $4.24264062$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \sqrt{2})$ .

Incremento en $(0, \sqrt{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.4142135$ en la expresión.

$f' (2.4142135) = - 4 {(2.4142135)}^{3} + 8 (2.4142135)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2.4142135$ a la potencia de $3$ .

$f' (2.4142135) = - 4 \cdot 14.07106672 + 8 (2.4142135)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $14.07106672$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 8 (2.4142135)$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $8$ por $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 19.313708$

Paso 8.2.2

Suma $- 56.28426688$ y $19.313708$ .

$f' (2.4142135) = - 36.97055888$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 36.97055888$ .

$- 36.97055888$

Paso 8.3

En $x = 2.4142135$ la derivada es $- 36.97055888$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\sqrt{2}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \sqrt{2}), (0, \sqrt{2})$

Decrecimiento en: $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, \infty)$

Paso 10