Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 1 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 x - 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x - 1 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $10 x - 1$ y $0$ .

$f' (x) = 10 x - 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $10 x - 1$ .

$10 x - 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $10 x - 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$10 x - 1 = 0$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$10 x = 1$

Paso 2.3

Divide cada término en $10 x = 1$ por $10$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $10 x = 1$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{10}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10}$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 10 x - 1$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{10})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{9}{10}$ en la expresión.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (- \frac{9}{10}) - 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{10}$ al numerador.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

Paso 5.2.1.2

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

Paso 5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{9}{10}) = - 9 - 1$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{10}) = - 10$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 10$ .

$- 10$

Paso 5.3

En $x = - \frac{9}{10}$ la derivada es $- 10$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{1}{10})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{1}{10})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{10}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{11}{10}$ en la expresión.

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{11}{10}) = 11 - 1$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de $11$ .

$f' (\frac{11}{10}) = 10$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 6.3

En $x = \frac{11}{10}$ la derivada es $10$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{1}{10}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{10}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{1}{10}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{1}{10})$

Paso 8