Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{4} + 24 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{4} + 24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 72 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $24 x^{2}$ de $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $24 x^{2}$ de $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 72 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $24 x^{2}$ de $72 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $24 x^{2}$ de $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3)$ .

$24 x^{2} (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $24 x^{2} (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 3$ .

$0, - 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 24 {(- 4)}^{3} + 72 {(- 4)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 4) = 24 \cdot - 64 + 72 {(- 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $24$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 {(- 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 \cdot 16$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $72$ por $16$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 1152$

Paso 5.2.2

Suma $- 1536$ y $1152$ .

$f' (- 4) = - 384$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 384$ .

$- 384$

Paso 5.3

En $x = - 4$ la derivada es $- 384$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5.2

Factoriza $8$ de $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (3) (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 27}{8})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 27 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $3$ por $- 27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Paso 6.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.12

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.12.1

Factoriza $4$ de $72$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 (18) (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.12.2

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 \cdot (18 (\frac{9}{4}))$

Paso 6.2.1.12.3

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 18 \cdot 9$

Paso 6.2.1.13

Multiplica $18$ por $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 162$

Paso 6.2.2

Suma $- 81$ y $162$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 81$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $81$ .

$81$

Paso 6.3

En $x = - \frac{3}{2}$ la derivada es $81$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 3, 0)$ .

Incremento en $(- 3, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 72 {(1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 72 {(1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $24$ por $1$ .

$f' (1) = 24 + 72 {(1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 24 + 72 \cdot 1$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $72$ por $1$ .

$f' (1) = 24 + 72$

Paso 7.2.2

Suma $24$ y $72$ .

$f' (1) = 96$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $96$ .

$96$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $96$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 3)$

Paso 9