Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $- 20 x^{3} - 8 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $- 4 x$ de $- 20 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $- 4 x$ de $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $5 x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $5 x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $5 x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} = - 2$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $5 x^{2} = - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $5 x^{2} = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Paso 2.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Paso 2.5.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Paso 2.5.2.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 2.5.2.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.2.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.5.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 2.5.2.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.2.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.5.2.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.2.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.2.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.2.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 2.5.2.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 2.5.2.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Paso 2.5.2.4.6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 2.5.2.4.7

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 2.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 2.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 2.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 20$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Paso 5.2.2

Suma $20$ y $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $28$ .

$28$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $28$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Paso 6.2.2

Resta $8$ de $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 28$ .

$- 28$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $- 28$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0)$

Decrecimiento en: $(0, \infty)$

Paso 8