Cálculo Ejemplos

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 x^{2}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $54$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{54}{x}$ con respecto a $x$ es $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.5.2.1

Combina $- 54$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Paso 1.1.5.2.3

Suma $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ y $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{54}{x^{2}}$ al numerador.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 54 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $54$ a ambos lados de la ecuación.

$128 x^{3} = 54$

Paso 2.4.2

Resta $54$ de ambos lados de la ecuación.

$128 x^{3} - 54 = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $2$ de $128 x^{3} - 54$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $2$ de $128 x^{3}$ .

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

Paso 2.4.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

Paso 2.4.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ .

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

Paso 2.4.3.2

Reescribe $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

Paso 2.4.3.3

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

Paso 2.4.3.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 4 x$ y $b = 3$ .

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.5

Factoriza.

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Paso 2.4.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.4.3.5.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.5.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.5.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.5.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

Paso 2.4.3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

Paso 2.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Paso 2.4.5

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.5.1

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Paso 2.4.5.2

Resuelve $4 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 3$

Paso 2.4.5.2.2

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.5.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 2.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 2.4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Paso 2.4.6

Establece $16 x^{2} + 12 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.6.1

Establece $16 x^{2} + 12 x + 9$ igual a $0$ .

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Paso 2.4.6.2

Resuelve $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 12$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.3

Resta $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7

Reescribe $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $144$ de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.9

Mueve $12$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.4.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.4.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.3

Resta $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.4

Reescribe $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.7

Reescribe $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1.7.1

Factoriza $144$ de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.7.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.1.9

Mueve $12$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.4.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.4.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.4.6.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.4.6.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.5.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.3

Resta $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.4

Reescribe $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.7

Reescribe $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1.7.1

Factoriza $144$ de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.7.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.1.9

Mueve $12$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.4.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.5.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.4.6.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 2.4.6.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{54}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $128$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

Paso 6.2.1.3

Divide $54$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $54$ .

$f' (- 1) = - 128 - 54$

Paso 6.2.2

Resta $54$ de $- 128$ .

$f' (- 1) = - 182$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 182$ .

$- 182$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 182$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{3}{4})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.375$ en la expresión.

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $128$ por $0.375$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $0.375$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

Paso 7.2.1.3

Divide $54$ por $0.140625$ .

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $384$ .

$f' (0.375) = 48 - 384$

Paso 7.2.2

Resta $384$ de $48$ .

$f' (0.375) = - 336$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 336$ .

$- 336$

Paso 7.3

En $x = 0.375$ la derivada es $- 336$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \frac{3}{4})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{3}{4})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{3}{4}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.75$ en la expresión.

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $128$ por $1.75$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $1.75$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

Paso 8.2.1.3

Divide $54$ por $3.0625$ .

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $17.63265306$ .

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

Paso 8.2.2

Resta $17.63265306$ de $224$ .

$f' (1.75) = 206.36734693$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $206.36734693$ .

$206.36734693$

Paso 8.3

En $x = 1.75$ la derivada es $206.36734693$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{3}{4}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{3}{4}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{3}{4}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Paso 10