Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(2 x - 3)}^{2}$ como $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

Paso 1.1.2

Expande $(2 x - 3) (2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 1.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 1.1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 1.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

Paso 1.1.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

Paso 1.1.3.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 12 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.5

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.7

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.9

Suma $8 x - 12$ y $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

Paso 1.1.5.11

Multiplica $4 x^{2} - 12 x + 9$ por $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.1.6.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.1.6.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.1.6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.1.6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.1.6.2.5

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.1.6.2.6

Suma $8 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

Paso 1.1.6.2.7

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3$ de $12 x^{2}$ .

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 24 x$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 2$ más $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5$ en la expresión.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $3$ y $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

Paso 5.2.2.2

Suma $15$ y $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $24$ .

$24$

Paso 5.3

En $x = - 0.5$ la derivada es $24$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{1}{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0.5, \frac{3}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $24$ de $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 12$ y $9$ .

$f' (1) = - 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0.5, \frac{3}{2})$ .

Decrecimiento en $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{3}{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.5$ en la expresión.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2.5$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $60$ de $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

Paso 7.2.2.2

Suma $15$ y $9$ .

$f' (2.5) = 24$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $24$ .

$24$

Paso 7.3

En $x = 2.5$ la derivada es $24$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{3}{2}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

Decrecimiento en: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Paso 9