Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} + 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $24 x^{2} + 7 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$24 x^{2} = - 7$

Paso 2.3

Divide cada término en $24 x^{2} = - 7$ por $24$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $24 x^{2} = - 7$ por $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Paso 2.5

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

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Paso 2.5.1

Reescribe $- \frac{7}{24}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

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Paso 2.5.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Paso 2.5.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Paso 2.5.1.3

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Paso 2.5.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Paso 2.5.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Paso 2.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Paso 2.5.3

Reescribe $\sqrt{\frac{7}{6}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Paso 2.5.4

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Paso 2.5.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 2.5.5.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 2.5.5.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 2.5.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 2.5.5.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 2.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 2.5.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Paso 2.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Paso 2.5.6.2

Multiplica $7$ por $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Paso 2.5.7

Multiplica $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

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Paso 2.5.7.1

Multiplica $\frac{i}{2}$ por $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Paso 2.5.7.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $24$ por $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Paso 5.2.2

Suma $24$ y $7$ .

$f' (1) = 31$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $31$ .

$31$

Paso 6

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ es $31$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $24 x^{2} + 7 > 0$

Paso 7

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

Siempre creciente

Paso 8