Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{16 - x^{2}}$ como ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.3

Mueve ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.10

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.14

Combina fracciones.

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Paso 1.1.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.18

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.20.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.20.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.1.23

Multiplica ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.24

Para escribir ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26

Multiplica ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26.3

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.26.4

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.27

Simplifica ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.29

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 2 x^{2} + 16 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 16$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 16$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 16$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 16}{- 2}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 16}{- 2}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 2}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 2$ .

$x^{2} = 8$

Paso 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{8}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Paso 2.3.4.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{{(- x^{2} + 16)}^{1}}}$

Paso 4.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{- x^{2} + 16}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{- x^{2} + 16}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{- x^{2} + 16} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- x^{2} + 16}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- x^{2} + 16}$ como ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- x^{2} + 16)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Simplifica.

$- x^{2} + 16 = 0^{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- x^{2} + 16 = 0$

Paso 4.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.3.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 16$

Paso 4.3.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.3.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Paso 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Paso 4.3.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Paso 4.3.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

Paso 4.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

Paso 4.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

Paso 4.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

Paso 4.4

Establece el radicando en $\sqrt{- x^{2} + 16}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x^{2} + 16 < 0$

Paso 4.5

Resuelve $x$

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Paso 4.5.1

Resta $16$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} < - 16$

Paso 4.5.2

Divide cada término en $- x^{2} < - 16$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Divide cada término de $- x^{2} < - 16$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} > 16$

Paso 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{16}$

Paso 4.5.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{16}$

Paso 4.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.4.2.1

Simplifica $\sqrt{16}$ .

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Paso 4.5.4.2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| x | > \sqrt{4^{2}}$

Paso 4.5.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > | 4 |$

Paso 4.5.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$| x | > 4$

Paso 4.5.5

Escribe $| x | > 4$ como una función definida por partes.

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Paso 4.5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 4.5.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > 4$

Paso 4.5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 4.5.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > 4$

Paso 4.5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > 4 & x \geq 0 \\ - x > 4 & x < 0 \end{cases}$

Paso 4.5.6

Obtén la intersección de $x > 4$ y $x \geq 0$ .

$x > 4$

Paso 4.5.7

Divide cada término en $- x > 4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.7.1

Divide cada término de $- x > 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{4}{- 1}$

Paso 4.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{4}{- 1}$

Paso 4.5.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{4}{- 1}$

Paso 4.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.7.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$x < - 4$

Paso 4.5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - 4$ o $x > 4$

Paso 4.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = \frac{- 2 {(- 5)}^{2} + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 2 \cdot 25 + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$f' (- 5) = \frac{- 50 + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $- 50$ y $16$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 1 \cdot 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 25$ y $16$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe $- 9$ como ${(3 i)}^{2}$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{({(3 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 6.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 6.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i}$

Paso 6.2.2.6

Simplifica.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i}$

Paso 6.2.3

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{- 34}{3 i}$ por el conjugado de $3 i$ para hacer real el denominador.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i} \cdot \frac{i}{i}$

Paso 6.2.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Combinar.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i i}$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1

Agrega paréntesis.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Paso 6.2.4.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Paso 6.2.4.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Paso 6.2.4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i^{1 + 1}}$

Paso 6.2.4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i^{2}}$

Paso 6.2.4.2.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 \cdot - 1}$

Paso 6.2.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{- 3}$

Paso 6.2.6

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f' (- 5) = \frac{34 i}{3}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $\frac{34 i}{3}$ .

$\frac{34 i}{3}$

Paso 6.3

En $x = - 5$ la derivada es $\frac{34 i}{3}$ . Como esta contiene un número imaginario, la función no existe en $(- \infty, - 4)$ .

La función no es real en $(- \infty, - 4)$ ya que $f' (x)$ es imaginario

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.4142135$ en la expresión.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 2 {(- 3.4142135)}^{2} + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 3.4142135$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 2 \cdot 11.65685382 + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $11.65685382$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 23.31370764 + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.1.3

Suma $- 23.31370764$ y $16$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Eleva $- 3.4142135$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 1 \cdot 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $11.65685382$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 11.65685382$ y $16$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{4.34314617}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe $4.34314617$ como ${2.08402163}^{2}$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{({2.08402163}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Paso 7.2.2.6

Evalúa el exponente.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Paso 7.2.3

Divide $- 7.31370764$ por $2.08402163$ .

$f' (- 3.4142135) = - 3.50942021$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 3.50942021$ .

$- 3.50942021$

Paso 7.3

En $x = - 3.4142135$ la derivada es $- 3.50942021$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ .

Decrecimiento en $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 2.828427, 2 \sqrt{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 16}{{(- {(0)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.1.3

Suma $0$ y $16$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(- 0 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(0 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $0$ y $16$ .

$f' (0) = \frac{16}{16^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{16}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 8.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (0) = \frac{16}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 8.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (0) = \frac{16}{4}$

Paso 8.2.2.6

Evalúa el exponente.

$f' (0) = \frac{16}{4}$

Paso 8.2.3

Divide $16$ por $4$ .

$f' (0) = 4$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 8.3

En $x = 0$ la derivada es $4$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2.828427, 2 \sqrt{2})$ .

Incremento en $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(2.828427, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.4142135$ en la expresión.

$f' (3.4142135) = \frac{- 2 {(3.4142135)}^{2} + 16}{{(- {(3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $3.4142135$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 2 \cdot 11.65685382 + 16}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $11.65685382$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 23.31370764 + 16}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.1.3

Suma $- 23.31370764$ y $16$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1.1

Eleva $3.4142135$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 1 \cdot 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $11.65685382$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $- 11.65685382$ y $16$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{4.34314617}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.3

Reescribe $4.34314617$ como ${2.08402163}^{2}$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{({2.08402163}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Paso 9.2.2.6

Evalúa el exponente.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Paso 9.2.3

Divide $- 7.31370764$ por $2.08402163$ .

$f' (3.4142135) = - 3.50942021$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 3.50942021$ .

$- 3.50942021$

Paso 9.3

En $x = 3.4142135$ la derivada es $- 3.50942021$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(2.828427, 4)$ .

Decrecimiento en $(2 \sqrt{2}, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = \frac{- 2 {(5)}^{2} + 16}{{(- {(5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = \frac{- 2 \cdot 25 + 16}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$f' (5) = \frac{- 50 + 16}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2.1.3

Suma $- 50$ y $16$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 1 \cdot 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2.2.2

Suma $- 25$ y $16$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe $- 9$ como ${(3 i)}^{2}$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{({(3 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 10.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 10.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i}$

Paso 10.2.2.6

Simplifica.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i}$

Paso 10.2.3

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{- 34}{3 i}$ por el conjugado de $3 i$ para hacer real el denominador.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i} \cdot \frac{i}{i}$

Paso 10.2.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.4.1

Combinar.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i i}$

Paso 10.2.4.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.4.2.1

Agrega paréntesis.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Paso 10.2.4.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Paso 10.2.4.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Paso 10.2.4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i^{1 + 1}}$

Paso 10.2.4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i^{2}}$

Paso 10.2.4.2.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 \cdot - 1}$

Paso 10.2.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{- 3}$

Paso 10.2.6

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f' (5) = \frac{34 i}{3}$

Paso 10.2.7

La respuesta final es $\frac{34 i}{3}$ .

$\frac{34 i}{3}$

Paso 10.3

En $x = 5$ la derivada es $\frac{34 i}{3}$ . Como esta contiene un número imaginario, la función no existe en $(4, \infty)$ .

La función no es real en $(4, \infty)$ ya que $f' (x)$ es imaginario

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$

Decrecimiento en: $(- 4, - 2 \sqrt{2}), (2 \sqrt{2}, 4)$

Paso 12