Cálculo Ejemplos

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $19 x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [19 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $19$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $19 x$ con respecto a $x$ es $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $19$ por $1$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

Paso 2.2

Resta $19$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - 19 x^{2}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 19 x^{2} = - 1$ .

$- 19 x^{2} = - 1$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- 19 x^{2} = - 1$ por $- 19$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- 19 x^{2} = - 1$ por $- 19$ .

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 19$ .

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Paso 2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Paso 2.5.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{19}$

Paso 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

Paso 2.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ .

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Paso 2.5.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{19}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Paso 2.5.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Paso 2.5.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{19}}$ por $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Paso 2.5.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{19}}$ por $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Paso 2.5.4.4.2

Eleva $\sqrt{19}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

Paso 2.5.4.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

Paso 2.5.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Paso 2.5.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Paso 2.5.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

Paso 2.5.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

Paso 2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Paso 2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Paso 2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ .

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.22941573$ en la expresión.

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.22941573$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Paso 6.2.1.2

Divide $1$ por $1.51146303$ .

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0.66161062$ .

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Paso 6.2.2

Suma $- 0.66161062$ y $19$ .

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $18.33838937$ .

$18.33838937$

Paso 6.3

En $x = - 1.22941573$ la derivada es $18.33838937$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.22941573, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.11470786$ en la expresión.

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.11470786$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Paso 7.2.1.2

Divide $1$ por $0.01315789$ .

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $76.00000256$ .

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Paso 7.2.2

Suma $- 76.00000256$ y $19$ .

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Paso 7.3

En $x = - 0.11470786$ la derivada es $- 57.00000256$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 0.22941573, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.11470786$ en la expresión.

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.11470786$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Paso 8.2.1.2

Divide $1$ por $0.01315789$ .

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $76.00000256$ .

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Paso 8.2.2

Suma $- 76.00000256$ y $19$ .

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Paso 8.3

En $x = 0.11470786$ la derivada es $- 57.00000256$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.22941573$ en la expresión.

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $1.22941573$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Paso 9.2.1.2

Divide $1$ por $1.51146303$ .

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0.66161062$ .

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Paso 9.2.2

Suma $- 0.66161062$ y $19$ .

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $18.33838937$ .

$18.33838937$

Paso 9.3

En $x = 1.22941573$ la derivada es $18.33838937$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

Paso 11